【Houdini动画】如何画出类似心形线的数学曲线？（图文详解）

[Hiの冰海豚]

今天小海豚要教大家使用Houdini绘制迷人的数学曲线。下图从左到右依次是玫瑰曲线、蝴蝶曲线、心形线、螺旋线。

小海豚知道很多同学一提数学方程式就头疼，更何况是曲线方程组！这次小海豚以心形线为例，给大家讲讲数学曲线如何绘制。

[Hiの冰海豚]

制作思路：1. 创建线条，进行重采样，得到点；2. 然后使用点序号驱动点的位置，得到曲线形状；3. 对曲线上色；4. 做曲线动画。其中关键步骤是在第2点。

下面以心形线为例，节点图和节点参数，节点很少，一一了解下。

1. line 节点只是用来生成1根线，所以只需要两个点，长度先设置长一点，以免后面的曲线显示不完整，以为弄错了。

2. resample 节点，重采样直线，长度为0.01，可以得到701个点。

3. Attribute Wrangle 节点放在下一楼说。

4. point 节点，为心形线加上红色。

5. mirror 节点，使心形线左右对称变化。

[Hiの冰海豚]

接下来我们重点解决点序号驱动点位置的问题。

为什么要使用点序号驱动点位置。我们知道，每个点的序号肯定是唯一的且不与别的点相同，使用点序号就保证了每个点能占一个坑（在同一个时间周期内），按顺序排队。

心形线有很多种，大家可以百度搜下。

小海豚的这种笛卡尔坐标系方程是

x=16*sin(t)*sin(t)*sin(t) y=13*cos(t)-5*cos(2*t)-2*cos(3*t)-cos(4*t)

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x=16*sin(t)*sin(t)*sin(t)   y=13*cos(t)-5*cos(2*t)-2*cos(3*t)-cos(4*t)

可以看到方程式中的 x、y 值由变量 t 决定。这里的 t 就是方程式的驱动。

之前小海豚说了，点序号也是驱动，所以 t 与 @ptnum（点序号）成正比。这里我们假设 m 为常量，则 t = m*@ptnum。加上 x = @P.x，y = @P.y。带入上述方程式得到

@P.x = 16*sin(m*@ptnum)*sin(m*@ptnum)*sin(m*@ptnum) @P.y = 13*cos(m*@ptnum)-5*cos(2*m*@ptnum)-2*cos(3*m*@ptnum)-cos(4*m*@ptnum)

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@P.x = 16*sin(m*@ptnum)*sin(m*@ptnum)*sin(m*@ptnum)   @P.y = 13*cos(m*@ptnum)-5*cos(2*m*@ptnum)-2*cos(3*m*@ptnum)-cos(4*m*@ptnum)

[Hiの冰海豚]

然后我们确定 m 值。

先解释下 m 的意义，在数学上，m 叫频率，与周期成反比，m = 2π／T。在本次案例中，周期是什么呢？是我们决定用多少个点来完成这一圈曲线。因为 π 约等于3.14，所以小海豚决定用628个点来完成这个心形曲线，所以我们得到 m = 0.01。

再把 m 值带入上面的公式，得到

@P.x = 16*sin(0.01*@ptnum)*sin(0.01*@ptnum)*sin(0.01*@ptnum) @P.y = 13*cos(0.01*@ptnum)-5*cos(2*0.01*@ptnum)-2*cos(3*0.01*@ptnum)-cos(4*0.01*@ptnum)

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@P.x = 16*sin(0.01*@ptnum)*sin(0.01*@ptnum)*sin(0.01*@ptnum)   @P.y = 13*cos(0.01*@ptnum)-5*cos(2*0.01*@ptnum)-2*cos(3*0.01*@ptnum)-cos(4*0.01*@ptnum)

为了简单起见，小海豚把曲线放在了 z = 0 处，所以最后填入 Attribute Wrangle 节点的公式就是

@P.x = 16*sin(0.01*@ptnum)*sin(0.01*@ptnum)*sin(0.01*@ptnum)； @P.y = 13*cos(0.01*@ptnum)-5*cos(2*0.01*@ptnum)-2*cos(3*0.01*@ptnum)-cos(4*0.01*@ptnum)； @P.z = 0；

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@P.x = 16*sin(0.01*@ptnum)*sin(0.01*@ptnum)*sin(0.01*@ptnum)；   @P.y = 13*cos(0.01*@ptnum)-5*cos(2*0.01*@ptnum)-2*cos(3*0.01*@ptnum)-cos(4*0.01*@ptnum)；   @P.z = 0；

就得到了一个静态的心形线——

[Hiの冰海豚]

最后我们来给心形线做动画。凡是动画，都和时间有关，这里小海豚通过时间来驱动线的长短，从而控制心形动画。将 line 节点的 length 参数设置为 n*$F，即 length = n*$F，这里 n 为常量。在重采样后的直线上，每两个点之间的距离为 0.01，所以点的数量 = length／0.01 = 100*n*$F，我们得到每 100*n 帧增加 1 个点。简单起见。这里小海豚设置的 n =0.01。

画面就开始比心啦～

[Hiの冰海豚]

好啦，今天小海豚的更贴就到这里啦，大家可以尝试一下，按教程的思路绘出其他更好看的数学曲线。

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[小仙女]

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[Hiの冰海豚]

有小伙伴问我，我查到的方程式是这样的（这里以椭圆为例），并没有把 x、y 单拎出来呀

x²/a²+y²/b²=1

1	x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup>=1

这里小海豚提醒一下，查找的时候查笛卡尔方程式，什么标准方程式、极坐标方程式，再去手动转化的时间成本实在太大了，而且很多同学的数学并没有那么好。当然你是数学学霸当我没说咯

既然都扔了椭圆标准方程式出来，这里也写一下笛卡尔方程式好了

x = a*cost y = b*sint

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x = a*cost   y = b*sint

其中，a 是半长轴，b 是半短轴；a = b 的时候是圆形，a 为半径。

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